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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 147

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Definici´ on. (Funci´ on de distribuci´ on conjunta). Una funci´on
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cualquiera F(x, y): R → [0, 1], no necesariamente definida en t´erminos
de un vector aleatorio, es una funci´on de distribuci´on conjunta si cumple
con las cinco propiedades enunciadas en la proposici´on anterior.

M´as adelante se mostrar´an otros ejemplos concretos de funciones de distri-
buci´on conjunta.

Para tres dimensiones se tiene la siguiente definici´on. Se dice que la funci´on
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F : R → [0, 1] es una funci´on de distribuci´on si cumple las primeras cuatro
propiedades anteriores y la quinta propiedad se reemplaza por la siguiente
condici´on: Para cualesquiera n´umeros reales a 1 <b 1 , a 2 <b 2 ,y a 3 <b 3 ,

F(b 1 ,b 2 ,b 3 ) − F(a 1 ,b 2 ,b 3 ) − F(b 1 ,a 2 ,b 3 ) − F(b 1 ,b 2 ,a 3 )
+F(a 1 ,a 2 ,b 3 )+ F(a 1 ,b 2 ,a 3 )+ F(b 1 ,a 2 ,a 3 )
−F(a 1 ,a 2 ,a 3 ) ≥ 0.

En t´erminos de vectores aleatorios se puede demostrar que ellado izquierdo
de esta desigualdad corresponde a la probabilidad del evento(a 1 <X 1 ≤
b 1 ,a 2 <X 2 ≤ b 2 ,a 3 <X 3 ≤ b 3 ), es decir, se trata de la probabilidad de que
el vector aleatorio (X 1 ,X 2 ,X 3 )tome alg´un valor dentro del paralelep´ıpedo
que se muestra en la Figura 3.4. La condici´on anterior establece entonces
que este n´umero debe ser mayor o igual a cero.

M´as generalmente, se tiene la siguiente definici´on.