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138 2.8. Ejercicios

a
f ) B(a +1,b)= B(a, b).
a + b
b
g) B(a, b +1) = B(a, b).
a + b
h) B(1/2, 1/2) = π.

253. Sea X con distribuci´on beta(1/2, 1/2). En este caso se dice que X
tiene una distribuci´on arcoseno.

a)Calcule y grafique f(x).
b)Demuestre directamente que f(x)es una funci´on de densidad.
c)Demuestre directamente que E(X)= 1/2, y Var(X)= 1/8.

254. Sea X con distribuci´on beta(a, b). Demuestre que para a> 0y b =1,

⎧
⎨ 0 si x ≤ 0,
F(x)= x a si 0 <x < 1,
1 si x ≥ 1.
⎩

255. Sea X con distribuci´on beta(a, b). Demuestre que para a =1 y b> 0,
⎧
⎨ 0 si x ≤ 0,
F(x)= 1 − (1 − x) b si 0 <x < 1,
⎩
1 si x ≥ 1.
256. Demuestre que X tiene distribuci´on beta(a, b)si, y s´olo si, 1−X tiene
distribuci´on beta(b, a).

Distribuci´on normal

2
257. Demuestre que la funci´on de densidad de la distribuci´on N(µ, σ )
a)es efectivamente una funci´on de densidad.
b)es sim´etrica respecto de x = µ.
c)alcanza su m´aximo en x = µ.