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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 135
237. Demuestre que la esperanza de la distribuci´on exp(λ)es 1/λ,y la
2
varianza es 1/λ .
238. La distribuci´ on exponencial no tiene memoria. Sea X con
distribuci´on exp(λ). Demuestre que
P(X ≥ x + y | X ≥ x)= P(X ≥ y).
La distribuci´on exponencial es la ´unica distribuci´on absolutamente
continua que satisface esta propiedad, al respecto ver el siguiente ejer-
cicio.
239. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua con valores en
el intervalo (0, ∞), y tal que para cualesquiera x, y > 0se cumple
P(X ≥ x + y | X ≥ x)= P(X ≥ y).
Demuestre que existe una constante λ > 0 tal que X tiene distribuci´on
exp(λ).
240. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on continua
F(x), estrictamente creciente y tal que 0 <F(x) < 1. Demuestre que
la variable aleatoria Y = − ln F(X)tiene distribuci´on exponencial con
par´ametro λ =1.
241. Sea a> 0. Demuestre que si X se distribuye exp(λ), entonces aX se
distribuye exp(λ/a).
242. Se dice que la variable X tiene una distribuci´on exponencial bilateral
(o exponencial doble) con par´ametro λ > 0si su funci´on de densidad
es
1
f(x)= λe −λ|x| , para x ∈ R.
2
Demuestre que la esperanza de esta distribuci´on es cero, y lavarianza
2
es 2/λ .
243. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on exponencial de par´ame-
tro λ,y sea a una constante positiva. Calcule la esperanza y varianza
de la variable m´ın{X, a}.
