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126 2.8. Ejercicios
186. Sea 1 A la funci´on indicadora de un evento A.Demuestre que
n
a) E(1 A )= E(1 )= P(A).
A
b)Var(1 A )= P(A)(1 − P(A)) ≤ 1/4.
187. Sea X con n-´esimo momento finito. Demuestre que
' ' 0
∞
n
E |X| = n x n−1 (1 − F(x)) dx + n |x| n−1 F(x) dx.
0 −∞
188. Sea X discreta con valores en el conjunto {0, 1,...},y con segundo
momento finito. Demuestre que
∞
"
2
E(X )= (2n − 1)P(X ≥ n).
n=1
189. Sea X ≥ 0 continua y con segundo momento finito. Demuestre que
'
∞
2
E(X )= 2 xP(X> x) dx.
0
1
1
190. Espacio L . Demuestre que el espacio L (Ω, F,P)consistente de
todas las variables aleatorias X tales que E|X| < ∞,es un espacio
vectorial. Para resolver este ejercicio suponga v´alida la propiedad de
linealidad de la esperanza. Tal propiedad ser´a demostrada m´as ade-
lante.
191. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sean X y Y con segundo
momento finito. Demuestre que
2
2
2
E (XY ) ≤ E(X )E(Y ).
2
Sugerencia: Para cualquier valor real de t,la esperanza de (tX+Y ) es
no negativa. Desarrolle el cuadrado y encuentre una ecuaci´on cuadr´ati-
ca en t.¿Qu´e puede decir de su discriminante?
