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124 2.8. Ejercicios

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175. Sea X con media µ yvarianza σ .Demuestre que E|X − µ| ≤ σ.
Sugerencia: Var(|X − µ|) ≥ 0.
176. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a)Si X ≤ Y ,entonces Var(X) ≤ Var(Y ).
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b)Var(X) ≤ E(X ).
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c) E (X) ≤ E(X ).
177. Sea X una variable aleatoria con varianza finita, y sea a una constante.
Diga si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas, demuestre
en cada caso.

a) E(m´ın{X, a}) ≤ E(X) ≤ E(m´ax{X, a}).
b)Var(m´ın{X, a}) ≤ Var(X) ≤ Var(m´ax{X, a}).
178. Sean X y Y con varianza finita. Diga si las siguientes desigualdades
son falsas o verdaderas, demuestre en cada caso.

a)Var(m´ın{X, Y }) ≤ Var(X) ≤ Var(m´ax{X, Y }).
b)Var(X + Y ) ≤ 2( Var(X)+ Var(Y )).
: : :
c) Var(X + Y ) ≤ Var(X)+ Var(Y ).

179. Sea X con varianza finita, y sea c una constante cualquiera. Diga si
las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas, demuestre en cada
caso.

a)Var(X + c)= Var(X − c).
b)Var(|X|) ≤ Var(X).
c)Var(|X − c|) ≤ Var(X).
180. Calcule la varianza de una variable aleatoria cuya funci´on de distri-
buci´on est´a dada por la gr´afica de la Figura 2.28.

181. Sean X y Y independientes y con segundo momento finito. Demuestre
que
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Var(XY )= Var(X)Var(Y )+ E (X)Var(Y )+ E (Y )Var(X).