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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 119

152. La paradoja de San Petersburgo.Un juego consiste en lanzar
una moneda equilibrada repetidas veces hasta que una de las caras,
seleccionada previamente, aparezca por primera vez. Si un jugador
lanza la moneda y requiere de n lanzamientos para que se cumpla la
n
condici´on, entonces recibe 2 unidades monetarias. ¿Cu´al debe ser el
pago inicial justo para ingresar a este juego?
153. Sea {A 1 ,A 2 ,...} una colecci´on de eventos que forman una partici´on
de Ω tal que cada elemento de la partici´on tiene probabilidadestric-
tamente positiva. Sea X una variable aleatoria discreta con esperanza
finita. Para cualquier evento A con probabilidad positiva defina

"
E(X | A)= xP(X = x | A).
x
∞
"
Demuestre que E(X)= E(X | A i )P(A i ).
i=1
154. Sean X y Y con esperanza finita. Demuestre que

a) E(m´ın{X, Y }) ≤ m´ın{E(X),E(Y )} ≤ E(X).
b) E(m´ax{X, Y }) ≥ m´ax{E(X),E(Y )} ≥ E(X).

155. Sea X> 0, discreta y con esperanza finita. Demuestre directamente
que E(X)E(1/X) ≥ 1. Este resultado puede ser demostrado usando
la desigualdad de Jensen (ver p´agina 127), pero en este ejercicio se
pide obtener el resultado sin usar dicha desigualdad.

156. Sea X discreta con valores no negativos x 1 ≤ x 2 ≤ ··· ≤ x k .Demues-
tre que

E(X n+1 )
a)l´ım = x k ,
n→∞ E(X )
n
:
n
b)l´ım n E(X )= x 1 .
n→∞