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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 117

Igualdad de variables aleatorias

143. Demuestre que la igualdad casi segura de variables aleatorias es una
relaci´on de equivalencia. ¿Cumple tal propiedad la igualdad en distri-
buci´on?

144. Sea X ≥ 0 tal que E(X)= 0. Demuestre que X =0 c.s. Sugerencia:
Para cada natural n defina el evento A n =(X ≥ 1/n). Compruebe
) ≥ P(A n )/n.Esto lleva a la conclusi´on de que
que E(X) ≥ E(X · 1 A n
∞
P(A n )= 0 y por lo tanto P(∪ n=1 A n )= 0. Ahora compruebe que los
∞
eventos (X> 0) y ∪ n=1 A n coinciden. Alternativamente puede usarse
la desigualdad de Markov (ver p´agina 347).

Integral de Riemann-Stieltjes

145. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on F,y sea a
cualquier n´umero real. Demuestre que

'
∞
1 (x) dF(x)= P(X = a).
{a}
−∞
146. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on F,y sea
(a, b) ⊆ R.Demuestre que
'
∞
1 (a,b) (x) dF(x)= P(a< X < b).
−∞

147. Sea F una funci´on de distribuci´on absolutamente continua. Demuestre
que para cualesquiera n´umeros naturales n y m,
'
∞ m
m
n
F (x) dF (x)= .
n + m
−∞