Page 125 - cip2007

Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 113

126. Sean F(x)y G(x)dos funciones de distribuci´on. Determine si las si-
guientes funciones son de distribuci´on.
a) aF(x)+ (1 − a)G(x), con 0 ≤ a ≤ 1.

b) F(x)+ G(x).
c) F(x)G(x).
2 G(x)
d) .
1+ F(x)
127. Sea X con funci´on de distribuci´on la especificada abajo. Grafique F(x)
ydemuestre que es efectivamente una funci´on de distribuci´on. Calcule
adem´as P(X ≤ 4), P(X> 1), P(4 <X < 6) y P(X =2).

&
0 si x< 2,
F(x)=
1 − 4/x 2 si x ≥ 2.
128. Sea X con funci´on de distribuci´on la especificada abajo. Grafique F(x)
ydemuestre que es efectivamente una funci´on de distribuci´on. Calcule
adem´as P(X ≤ 1), P(X =1), P(0 <X < 3), P(X =4) y P(X ≥ 3).

⎧
⎪ 0 si x< 0,
⎪
⎨ 0.2 si 0 ≤ x< 1,
⎪
⎪
F(x)= 0.5 si 1 ≤ x< 3,
⎪
⎪ 0.9 si 3 ≤ x< 4,
⎪
⎪
1 si x ≥ 4.
⎩
129. En la escuela rusa de probabilidad se define la funci´on dedistribuci´on
de una variable aleatoria X como G(x)= P(X< x). Observe el
signo “<”en lugar de “≤”. Demuestre que esta funci´on cumple todas
las propiedades de una funci´on de distribuci´on, excepto que ahora la
continuidad es por la izquierda.

130. Sea F(x)una funci´on de distribuci´on continua. Demuestre que pa-
ra cualquier entero n ≥ 1, las siguientes funciones tambi´en son de
distribuci´on.