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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 111

n
1 "
¯
a) X = X i es v.a.
n
i=1
n
1 "
2
¯ 2
b) S = (X i − X) es v.a.
n − 1
i=1
118. Sea X una variable aleatoria, y sean a< b dos constantes. Demuestre
que las siguientes funciones son variables aleatorias.
&
X si X< a,
a) Y =
a si X ≥ a.
⎧
⎨ a si X< a,
b) Y = X si a ≤ X ≤ b,
⎩
b si X> b.
&
X si |X| ≤ a,
c) Y =
0 si |X| >a, suponiendo a> 0.
119. Se define la funci´on signo como sigue

⎧
⎨ +1 si x> 0,
signo(x)= −1 si x< 0,
0 si x =0.
⎩
Demuestre que si X es variable aleatoria, entonces signo(X)tambi´en
lo es. ¿Es cierto el rec´ıproco?

120. Sea (Ω, F,P)un espacio de probabilidad, y sea X : Ω → R una
funci´on. Demuestre que la colecci´on {X −1 B : B ∈ B(R)} es una sub
σ-´algebra de F si, y s´olo si, X es variable aleatoria. A esta colecci´on
se le denota por σ(X), y es la m´ınima σ-´algebra respecto de la cual
X es variable aleatoria.

121. Sea X una variable aleatoria con valores en el conjunto {0, 1,...}.
Sea (X) 10 el valor de X m´odulo 10. Demuestre que (X) 10 es tambi´en
variable aleatoria.