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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 115

a)si F(x) ≥ G(x), entonces F −1 (y) ≤ G −1 (y).
b)si X tiene funci´on de distribuci´on F(x), entonces Y = G −1 (F(X))
tiene funci´on de distribuci´on G(x).
c)si F(x) ≥ G(x), entonces existen variables aleatorias X y Y cuyas
funciones de distribuci´on son F(x)y G(x)respectivamente, y son
tales que X ≤ Y .Sugerencia: Use el inciso anterior.

135. Sea X con funci´on de distribuci´on F(x). Demuestre que F(x)es con-
tinua en x = x 0 si, y s´olo si, P(X = x 0 )= 0.

Tipos de variables aleatorias

136. Encuentre la constante c que hace a f(x)una funci´on de probabilidad.
c
a) f(x)= , para x =1, 2,...
x(x +1)
b) f(x)= ce −x , para x =1, 2,...
c) f(x)= c/x!, para x =1, 2,...
137. Encuentre la constante c que hace a f(x)una funci´on de densidad.

2
a) f(x)= cx , para 0 <x < 1.
b) f(x)= cxe −2x 2 , para x> 0.
c) f(x)= cx −2 , para x> 1.
ce x
d) f(x)= , para x ∈ R.
x 2
(1 + e )
e) f(x)= cx(1 − x), para 0 <x < 1.
c
f ) f(x)= √ , para 0 <x < 1.
1 − x 2
c
g) f(x)= , para x ∈ R.
1+ x 2
138. Demuestre que las siguientes funciones son de densidad.Encuentre
la correspondiente funci´on de distribuci´on y demuestre que ´esta es
efectivamente una funci´on de distribuci´on. Grafique ambasfunciones.