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118 2.8. Ejercicios

Esperanza

148. Calcule la esperanza de X cuya funci´on de probabilidad o de densidad
es

a) f(x)= 1/5, para x = −2, −1, 0, 1, 2.
b) f(x)= e −1 /x!, para x =0, 1, 2,...

c) f(x)= |x|, para −1 <x < 1.
d) f(x)= e −|x| /2, para x ∈ R.

149. Calcule la esperanza de una variable aleatoria cuya funci´on de distri-
buci´on es
& −x
1 − e /2 si x> 1,
F(x)=
0 si x ≤ 1.
150. Sean X y Y con esperanza finita, y sea c una constante. Demuestre
que

a) E(c)= c.
b) E(cX)= cE(X).
c) E(X + c)= E(X)+ c.
d)Si X ≥ 0, entonces E(X) ≥ 0.
e)Si X ≤ Y ,entonces E(X) ≤ E(Y ).

f ) |E(X)| ≤ E|X|.

151. Demuestre que no existe la esperanza de X cuando su funci´on de
probabilidad o de densidad es

3
a) f(x)= , para x ∈ Z \{0}.
2 2
π x
1
b) f(x)= , para x ∈ R.
2
π(1 + x )