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116 2.8. Ejercicios

a) f(x)= 2x, para x ∈ (0, 1).
2
b) f(x)= 3x /2, para x ∈ (−1, 1).
c) f(x)= 1 − x/2, para x ∈ (0, 2).
2
d) f(x)= 2x/m , para x ∈ (0,m), con m> 0.
2
e) f(x)= 1/(1 − x) , para x ∈ (0, 1/2).
f ) f(x)= e /2, para x ∈ R.
|x|
139. Demuestre que las siguientes funciones son de distribuci´on. Encuen-
tre la correspondiente funci´on de densidad y compruebe que ´esta es
efectivamente una funci´on de densidad. Grafique ambas funciones.

&
0 si x< 0,
a) F(x)=
1 si x ≥ 0.
⎧
⎨ 0 si x ≤ 0,
b) F(x)= x si 0 <x < 1,
1 si x ≥ 1.
⎩
x
x
c) F(x)= e /(1 + e ).
1 ' x
d) F(x)= e −|u| du.
2
−∞
140. Sea f(x)una funci´on de densidad y sea c una constante cualquiera.
Demuestre que f(x + c)es tambi´en una funci´on de densidad.
141. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a)Toda funci´on de densidad es acotada.
b)Toda funci´on de distribuci´on es acotada.

142. Sea X absolutamente continua, y sea Y = aX+b con a y b constantes.
Demuestre que si a ̸=0, entonces

1
f Y (y)= f X ((y − b)/a).
|a|