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112 2.8. Ejercicios

122. Medida de probabilidad inducida. Sean (Ω 1 , F 1 )y (Ω 2 , F 2 )dos
espacios medibles, y sea X : Ω 1 → Ω 2 una funci´on medible, es decir,
para cualquier A en F 2 se cumple que X −1 A ∈ F 1 .Suponga que

P : F 1 → [0, 1] es una medida de probabilidad. Demuestre que P ◦
X −1 : F 2 → [0, 1] es tambi´en una medida de probabilidad. A esta
funci´on se le llama medida de probabilidad inducida por X.

123. Sea c una constante distinta de cero, y sea X una variable aleatoria.
Demuestre o proporcione un contraejemplo.

a) σ(cX)= σ(X).
b) σ(X + c)= σ(X).
2
c) σ(X)= σ(X ).

Funci´on de distribuci´on

124. Grafique y demuestre que las siguientes funciones son de distribuci´on.
& −x
1 − e si x> 0,
a) F(x)=
0 si x ≤ 0.
&
1 − (1 + x)e −x si x> 0,
b) F(x)=
0 si x ≤ 0.
⎧
⎨ 0 si x< −1,
c) F(x)= (x +1)/2si x ∈ [−1, 1],
1 si x> 1.
⎩
125. Investigue si las siguientes funciones son de distribuci´on.

& −x 2
1 − e si x> 0,
a) F(x)=
0 si x ≤ 0.
& −1/x
e si x> 0,
b) F(x)=
0 si x ≤ 0.
x
x
c) F(x)= e /(1 + e ), para x ∈ R.
x
x
d) F(x)= e /(e + e −x ), para x ∈ R.