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110 2.8. Ejercicios

Una de estas implicaciones resulta falsa cuando se omite la condici´on
de que los n´umeros a y b son distintos. ¿Cu´al de ellas es?
110. Sean A 1 ,... ,A n subconjuntos disjuntos de Ω,y sean a 1 ,... ,a n cons-
tantes distintas. Demuestre que

n
"
es v.a. ⇔ A 1 ,... ,A n son medibles.
a i 1 A i
i=1
111. Sean A y B dos eventos, y sean 1 A y1 B las correspondientes funciones
indicadoras. Directamente de la definici´on demuestre que las funciones
1 A +1 B ,1 A − 1 B y1 A 1 B son variables aleatorias.

112. Sean X y Y dos variables aleatorias. Demuestre que los conjuntos
(X ≤ Y ), (X = Y ), (X − Y< 1), (X − Y> 0), (X ≥ Y )y (X ̸= Y )
son eventos.

113. Sean X, Y y Z tres variables aleatorias. Demuestre que los conjuntos
(X ≤ Y ≤ Z), (X = Y = Z)y (X> Y > Z)son eventos.

114. Sea X una variable aleatoria y g : R → R una funci´on Borel medi-
ble. Demuestre que g(X)= g ◦ X : Ω → R es tambi´en una variable
aleatoria. Sugerencia: Demuestre que la colecci´on B = {B ∈ B(R):
g −1 B ∈ B(R)} coincide con B(R)usando los siguientes dos resul-
tados: (1) Dada una funci´on continua de R en R,la imagen inversa
de un conjunto abierto es nuevamente un conjunto abierto. (2)Todo
conjunto abierto de R distinto del vac´ıo puede expresarse como una
uni´on numerable de intervalos abiertos.
X
115. Sea X una variable aleatoria. Demuestre que las funciones e ,sen X,
ycos X son variables aleatorias.

2
116. Sea X : Ω → R una funci´on. Proporcione un ejemplo en el que X es
variable aleatoria pero |X| no lo es.

117. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias. Demuestre que