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106 2.7. Distribuciones continuas

est´andar mediante la siguiente operaci´on llamada estandarizaci´on.La de-
mostraci´on de este resultado es elemental y se deja como ejercicio.

X − µ
2
Proposici´ on. X ∼ N(µ, σ ) ⇐⇒ Z = ∼ N(0, 1).
σ

Com´unmente se usa la letra Z para denotar una variable aleatoria con dis-
tribuci´on normal est´andar. En particular la funci´on Φ(x)denota la funci´on
de distribuci´on de una variable aleatoria normal est´andar, es decir,

x 1
'
2
Φ(x)= P(Z ≤ x)= √ e −u /2 du.
2π
−∞

Φ(x)

x
´
Figura 2.23: Area cubierta por la funci´on de distribuci´on Φ(x)= P(Z ≤ x).
Los valores de esta funci´on no pueden encontrarse de manera expl´ıcita, asi
es que se usan m´etodos num´ericos para aproximar la integralpara distintos
valores de x.En una tabla al finaldeltexto pueden encontrarse estos valores
aproximados.
2
Distribuci´ on log normal. Si X tiene distribuci´on N(µ, σ ), entonces la
2
variable Y = e X tiene una distribuci´on log normal(µ, σ ), y su funci´on de
densidad es
⎧ 2
1 (ln y − µ)
⎪
√ exp (− 2
⎨ ) si y> 0,
f(y)= y 2πσ 2 2σ
⎪
0 si y ≤ 0.
⎩