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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 109

100. Sea c una constante y X una variable aleatoria. Demuestre directa-
mente que las siguientes funciones tambi´en son variables aleatorias:
cX, X + c,m´ax{X, c},m´ın{X, c}.

101. Demuestre directamente que la diferencia de dos variables aleatorias
es variable aleatoria.

102. Sea X una variable aleatoria cualquiera. Demuestre que la parte entera
de X,denotada por ⌊X⌋,es una variable aleatoria discreta,es decir,
toma un n´umero numerable de valores.

103. Demuestre que el conjunto de variables aleatorias definidas sobre un
espacio de probabilidad es un espacio vectorial con las operaciones
usuales de suma y producto por escalares.

104. Sean X y Y variables aleatorias. Demuestre directamente que tanto
m´ax{X, Y } como m´ın{X, Y } son variables aleatorias.

105. Demuestre directamente que si X es variable aleatoria, entonces tam-
3
n
bi´en lo son X y2X − 5X.
106. Demuestre que X es variable aleatoria si, y s´olo si, tanto X + =
m´ax{0,X} como X − = − m´ın{0,X},lo son.

107. Sea A ⊆ Ω.Demuestre que la funci´on indicadora 1 A : Ω → R es
variable aleatoria si, y s´olo si, el conjunto A es medible. V´ease el
ap´endice al final del texto para la definici´on y algunas propiedades de
la funci´on indicadora.

108. Sean A, B ⊆ Ω.Diga falso o verdadero.Demuestre en cada caso.
a) A, B medibles ⇒ 1 A +1 B es v.a.

b)1 A +1 B es v.a. ⇒ A, B son medibles.
109. Sean A, B subconjuntos disjuntos de Ω ysean a, b dos n´umeros reales
distintos. Demuestre que

a1 A + b1 B es v.a. ⇔ A, B son medibles.