Page 120 - cip2007
P. 120
108 2.8. Ejercicios
2.8. Ejercicios
Variables aleatorias
91. Demuestre que la funci´on identidad X(ω)= ω no es variable aleatoria
cuando Ω = {1, 2, 3} y F = {∅, {1}, {2, 3}, Ω}.
92. Sea Ω = {−1,, 0, 1} y F = {∅, {0}, {−1, 1}, Ω}.Considere la funci´on
2
identidad X(ω)= ω.Demuestre que X es variable aleatoria pero X
no lo es.
93. Considere el espacio medible (Ω, F), con F = {∅, Ω}.Demuestre que
la funci´on X : Ω → R es variable aleatoria si, y s´olo si, X es constante.
c
94. Sea (Ω, F)un espacio medible tal que F = {∅, Ω,A,A } con A ⊆ Ω.
Demuestre que toda funci´on medible X : Ω → R es constante en A y
c
en A .Por lo tanto toda funci´on medible respecto de esta σ-´algebra
toma a lo sumo dos valores distintos. El siguiente ejercicio generaliza
este resultado.
95. Sea A 1 ,... ,A n una partici´on finita de Ω,y considere el espacio me-
dible (Ω, F), con F = σ{A 1 ,... ,A n }.Demuestre que X : Ω → R es
variable aleatoria si, y s´olo si, X es constante en cada elemento de la
partici´on. En consecuencia, X toma a lo sumo n valores distintos.
96. Demuestre que X es variable aleatoria si, y s´olo si, (X< x) ∈ F para
cada n´umero real x.
97. Demuestre que X es variable aleatoria si, y s´olo si, (X ≥ x) ∈ F para
cada n´umero real x.
98. Demuestre que X es variable aleatoria si, y s´olo si, (X> x) ∈ F para
cada n´umero real x.
99. Demuestre que X es variable aleatoria si, y s´olo si, (a< X < b) ∈ F
para cada intervalo (a, b)de R.
