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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 121
Gr´aficamente estas integrales pueden interpretarse como seindica en
la Figura 2.25.
F(x)
1
+
−
x
Figura 2.25: La esperanza como la diferencia de dos ´areas.
Use esta f´ormula para demostrar que
a)si X tiene distribuci´on exp(λ), entonces E(X)= 1/λ.
b)si X tiene distribuci´on gama(n, λ), entonces E(X)= n/λ.
162. Sea X una variable aleatoria no negativa con funci´on de distribuci´on
continua F(x)y con esperanza finita µ.Demuestre que la siguiente
funci´on es de distribuci´on.
'
⎧ ∞
1
⎨
1 − (1 − F(x)) dx si y> 0,
G(y)= µ y
0 si y ≤ 0.
⎩
2
Demuestre que la esperanza de esta distribuci´on es 2 E(X )/µ,supo-
niendo que el segundo momento de X es finito.
163. Sea X con funci´on de distribuci´on continua F(x), y con esperanza
finita µ.Demuestre que
µ ∞
' '
F(x)dx = [1 − F(x)]dx.
−∞ µ
164. Demuestre que la condici´on E(X)= 0 no implica que X es sim´etrica
alrededor de cero. Sugerencia: Considere X tal que P(X = −1) = 1/2,
