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120 2.8. Ejercicios

157. Sea X discreta con valores 0, 1,... ycon esperanza finita. Demuestre
que
∞ ∞
" "
E(X)= P(X ≥ n)= P(X> n).
n=1 n=0
Use esta f´ormula para demostrar que
a)si X tiene distribuci´on geo(p), entonces E(X)= (1 − p)/p.
b)si X tiene distribuci´on Poisson(λ), entonces E(X)= λ.

158. Sea X ≥ 0 con esperanza finita, y suponga que para alg´un p ∈ (0, 1),
k
se cumple la desigualdad P(X ≥ k) ≤ p ,para cada k =0, 1,....
Demuestre que E(X) ≤ 1/(1 − p).
159. Sea X ≥ 0con esperanza finita no necesariamente discreta. Paracada
n´umero natural n defina el evento A n =(n − 1 ≤ X< n). Demuestre
que
∞ ∞
" "
≤ X< .
(n − 1)1 A n n1 A n
n=1 n=1
Ahora demuestre las desigualdades
∞ ∞
" "
P(X ≥ n) ≤ E(X) < 1+ P(X ≥ n).
n=1 n=1

160. Sea X con funci´on de distribuci´on F(x). Demuestre que si X tiene
esperanza finita, entonces

a)l´ım x (1 − F(x)) = 0.
x→∞
b) l´ım xF(x)= 0.
x→−∞
El rec´ıproco sin embargo es falso, v´ease [4].
161. Sea X con funci´on de distribuci´on F(x), y con esperanza finita. De-
muestre que

' ' 0
∞
E(X)= [1 − F(x)]dx − F(x)dx.
0 −∞