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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 127

u(x)

u(a)+ (x − a)m

u(a)

x
a

Figura 2.29: Convexidad.

2
192. Espacio L . Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar
2
que el espacio L (Ω, F,P)consistente de todas las variables aleatorias
2
X tales que E|X| < ∞,es un espacio vectorial.
193. Desigualdad de Jensen. Sea u una funci´on convexa, y sea X una
variable aleatoria con esperanza finita. Demuestre que

u(E(X)) ≤ E(u(X)).

Sugerencia: La funci´on u es convexa si para cada a existe un n´umero
m tal que u(x) ≥ u(a)+ (x − a)m,para todo x.Esto se muestra en
la Figura 2.29. Alternativamente, una funci´on u es convexa si u(tx +
(1 − t)y) ≤ tu(x)+ (1 − t)u(y), para cualesquiera par de n´umeros
x y y dentro del dominio de definici´on de u,y para cualquier t en
el intervalo [0, 1]. Debe suponerse adem´as que el n´umero tx +(1 −
t)y pertenece tambi´en al dominio de definici´on de la funci´on. Vea
el siguiente ejercicio para algunos ejemplos particulares de funciones
convexas.

194. Sea X con esperanza finita. Use la desigualdad de Jensen para demos-
trar que
X
a) e E(X) ≤ E(e ).
2
2
b) E (X) ≤ E(X ).
c)m´ax{a, E(X)} ≤ E{m´ax{a, X}), a constante.