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244 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

Nuevamente se puede demostrar (5.5) mediante el procedimiento usual de
encontrar primero la funci´on de distribuci´on y despu´es derivar para encon-
trar la funci´on de densidad. Por definici´on,

F X−Y (u)= P(X − Y ≤ u)
''
= f X,Y (x, y) dy dx
x−y≤u
' '
∞ ∞
= f X,Y (x, y) dy dx.
−∞ x−u
La regi´on de integraci´on aparece en la Figura 5.7.

y

x
u

Figura 5.7: Regi´on de integraci´on x − y ≤ u.

Derivando respecto a u se obtiene (5.6) equivalente a (5.5). A partir de la
f´ormula para la suma de dos variables aleatorias se puede construir una
tercera demostraci´on de (5.5). Por la f´ormula para la suma,
∞
'
f X−Y (u)= f X+(−Y ) (u)= f X,−Y (u − v, v) dv.
−∞
Haciendo el cambio de variable x = −v,se obtiene
∞
'
f X−Y (u)= f X,−Y (u + x, −x) dx
−∞
'
∞
= f X,Y (u + x, x) dx.
−∞