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248 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

Aplique este resultado al caso cuando X, Y y Z son independientes cada
una de ellas con distribuci´on unif(0, 1). !

Distribuci´on del cociente

Finalmente se encontrar´a una f´ormula para el cociente de dos variables
aleatorias absolutamente continuas.

Proposici´ on.Sea (X, Y )un vector absolutamente continuo con funci´on
de densidad f X,Y (x, y)y tal que Y ̸=0. Entonces X/Y tiene funci´on de
densidad
'
∞
f X/Y (u)= f X,Y (uv, v) |v| dv. (5.9)
−∞

2
Demostraci´on. Procederemos como en las secciones anteriores. Sea ϕ : R →
2
R la transformaci´on ϕ(x, y)= (x/y, y)para y ̸=0, y con inversa ϕ −1 (u, v)=
(uv, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es
B −1 −1 B B B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ B B vu B
J(u, v)= B 1 −1 1 B = B B = v.
B ∂ u ϕ 2 ∂ v ϕ −1 B B 01 B
2
Por la f´ormula (5.1), f X/Y,Y (u, v)= f X,Y (uv, v) |v|,de donde se obtiene (5.9)
integrando respecto a v.

Haciendo x(v)= uv en (5.9) se obtiene la expresi´on equivalente
'
∞
2
f X/Y (u)= f X,Y (x, x/u) |x/u | dx. (5.10)
−∞
Observe nuevamente que cuando X y Y son independientes, el integrando
en la f´ormula (5.9) se escribe como el producto de las densidades marginales.