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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 245

Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal
est´andar. Use (5.5) para demostrar que X − Y tiene distribuci´on N(0, 2), es
decir, su funci´on de densidad es

1 2
f(u)= √ e −u /4 .
2 π

!
Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de Y − X cuando X y Y
tienen funci´on de densidad conjunta

& 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.
!
Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal
est´andar. En ejercicios anteriores se ha pedido comprobar que tanto X + Y
como X − Y tienen distribuci´on N(0, 2). Demuestre ahora que X + Y y
X − Y son independientes. !

Ejercicio. Sea (X, Y, Z)un vector absolutamente continuo con funci´on de
densidad f X,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable X − Y − Z tiene funci´on
de densidad
' '
∞ ∞
f X−Y −Z (u)= f X,Y,Z (u + y + z, y, z) dydz.
−∞ −∞
Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidadde X − Y − Z,
cuando estas variables son independientes y cada una de ellastiene distri-
buci´on unif(0, 1). !

Distribuci´on del producto

Ahora se encontrar´a una f´ormula para la funci´on de densidad del producto
de dos variables aleatorias absolutamente continuas.