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246 5.2. Transformaci´ on de un vector aleatorio

Proposici´ on.Sea (X, Y )un vector absolutamente continuo con funci´on
de densidad f X,Y (x, y). Entonces XY tiene funci´on de densidad

'
∞
f XY (u)= f X,Y (u/v, v) |1/v| dv. (5.7)
−∞

2
2
Demostraci´on. Se usa nuevamente la f´ormula (5.1). Sea ϕ : R → R la
transformaci´on ϕ(x, y)= (xy, y)cuya inversa es, para v ̸=0, ϕ −1 (u, v)=
(u/v, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es
B −1 −1 B B B
B ∂ u ϕ ∂ v ϕ B B 1/v u/v 2 B
J(u, v)= B 1 1 B = B B =1/v.
B ∂ u ϕ −1 ∂ v ϕ −1 B B 0 1 B
2
2
Por la f´ormula (5.1), para v ̸=0, f XY,Y (u, v)= f X,Y (u/v, v) |1/v|.Integran-
do respecto a v se obtiene (5.7).

Haciendo x(v)= u/v en (5.7) se obtiene la expresi´on equivalente
'
∞
f XY (u)= f X,Y (x, u/x) |1/x| dx. (5.8)
−∞
Cuando X y Y son independientes (5.7) se reduce a
'
∞
f XY (u)= f X (u/v)f Y (v) |1/v| dv.
−∞

Usaremos nuevamente el procedimiento usual de encontrar primero la fun-
ci´on de distribuci´on de XY ydespu´es derivar para encontrar la funci´on de
densidad. Por definici´on,

F XY (u)= P(XY ≤ u)
''
= f X,Y (x, y) dy dx
xy≤u
0 ∞ ∞ u/x
' ' ' '
= f X,Y (x, y) dydx + f X,Y (x, y) dydx.
−∞ u/x 0 −∞