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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 253

430. Encuentre la funci´on de densidad de Y =1/X cuando X tiene funci´on
de densidad
⎧
⎨ 1/2 si 0 <x ≤ 1,
2
f X (x)= 1/(2x ) si x> 1,
0 si x ≤ 0.
⎩
431. Sea X con distribuci´on unif(a, b). Encuentre la distribuci´on de la va-
riable aleatoria Y = X/(b − X).

Transformaci´on de un vector aleatorio

432. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on unif(0, 1). Encuen-
tre la funci´on de densidad del vector
a)(X, X + Y ).
b)(X + Y, X − Y ).

433. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on unif(−1, 1). En-
cuentre la funci´on de densidad del vector

a)(X + Y, X − Y ).
b)(X, |Y − X|).
c)(X − Y, Y − X).
434. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on uniforme en el c´ırculo unitario
2
2
{(x, y): x + y ≤ 1}.Encuentre la funci´on de densidad del vector
:
2
2
(R, Θ)= ( X + Y , arctan(Y/X)).
435. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on exp(λ). De-
muestre que el vector (X, X + Y )tiene funci´on de densidad
& 2 −λv
λ e si 0 <u <v,
f(u, v)=
0 otro caso.
436. Sea (X, Y )con funci´on de densidad f X,Y (x, y). Demuestre que la
funci´on de densidad del vector (U, V )= (X + Y, X/(X + Y )) es
f U,V (u, v)= f X,Y (uv, u(1 − v))u.