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290 7.1. Tipos de convergencia

c.s.
cero. Para indicar la convergencia casi segura se escribe X n −→ X,o bien
l´ım X n = Xc.s. Amenudo se utiliza el t´ermino convergencia casi donde-
n→∞
quiera,o bien convergencia casi siempre para denotar este tipo de convergen-
cia. Observe que omitiendo el argumento ω,la condici´on para la convergen-
cia casi segura se escribe en la forma m´as corta: P(l´ım n→∞ X n = X )= 1,
osimplemente P(X n → X)= 1. Es posible demostrar que el conjunto
{ω ∈ Ω : X n (ω) → X(ω)) es medible de modo que tiene sentido aplicar la
probabilidad, al respecto v´ease el ejercicio 506. Puede tambi´en demostrarse
que bajo este tipo de convergencia, el l´ımite es ´unico casi seguramente, es
decir, si X n converge a X c.s. y tambi´en converge a Y c.s., entonces X = Y
casi seguramente.

Ejemplo.Considere el espacio de probabilidad ([0, 1], B[0, 1],P)con P la
medida uniforme, es decir, la medida de probabilidad de un intervalo es su
longitud. Defina la sucesi´on de variables aleatorias como semuestran en la
Figura 7.2.

X n (ω)= 1 [0,1/n] (ω)

1

ω
1/n 1
Figura 7.2: Gr´afica de la variable aleatoria X n (ω)= 1 [0,1/n] (ω).

Es decir, la variable X n tiene distribuci´on Bernoulli con par´ametro p =1/n,
yconverge casi seguramente a la variable aleatoria constante cero. Para
demostrar esto se necesita verificar que P(X n → 0) = 1. Pero esta igualdad
es evidente a partir del hecho de que el conjunto {ω ∈ Ω : X n (ω) → 0} es el
intervalo (0, 1], el cual tiene probabilidad uno. El punto ω =0 es el ´unico
punto muestral para el cual X n (ω)no converge a cero. Esto demuestra que