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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 295

uso s´olamente de las funciones de distribuci´on y por lo tanto las variables
aleatorias correspondientes pueden estar definidas en distintos espacios de
probabilidad. La unicidad del l´ımite no se da en el sentido casi seguro como
en los anteriores tipos de convergencia, sino en el sentido m´as d´ebil de
igualdad de distribuciones.

Ejemplo.Considere la sucesi´on X 1 ,X 2 ,...,en donde cada X n tiene distri-
d
2
buci´on N(0, σ /n). Demostraremos que X n → 0. Como
1 ' x −u /2(σ /n)
2
2
e du,
F X n (x)= :
2
2πσ /n −∞
einterpretando esta integral como el ´area bajo la curva deuna funci´on de
2
densidad normal con media cero y varianza σ /n,puede comprobarse que
⎧
⎨ 0 si x< 0,
(x)= 1/2 si x =0,
l´ım F X n
n→∞ ⎩
1 si x> 0.
Gr´aficamente la distribuci´on l´ımite se muestra en la Figura 7.4. Observe que
la variable aleatoria constante X =0 tiene funci´on de distribuci´on
&
0 si x< 0,
F X (x)=
1 si x ≥ 0.
d
Tenemos entonces que X n −→ 0, pues l´ım F X n (x)= F X (x)para todo
n→∞
punto x donde F X (x)es continua, esto es, para todo x en el conjunto R\{0}.
(x)no convergen a F(x)cuando x =0.
Observe que las funciones F X n
!
En la siguiente secci´on demostraremos que la convergencia en probabilidad
implica la convergencia en distribuci´on. El rec´ıproco en general es falso
excepto cuando el l´ımite es una constante. Este es el contenido del siguiente
resultado el cual ser´a usado m´as adelante para demostrar laley d´ebil de los
grandes n´umeros.