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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 297
Convergencia Definici´ on
puntual X n (ω) → X(ω)para cada ω en Ω.
casi segura P(X n → X)= 1.
en media E|X n − X| → 0.
2
en media cuadr´atica E|X n − X| → 0.
en probabilidad P(|X n − X| > ϵ) → 0.
en distribuci´on F X n (x) → F X (x)en puntos de
continuidad x de F X .
7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia
En esta secci´on se establecen algunas relaciones generalesentre los tipos de
convergencia de variables aleatorias mencionados en la secci´on anterior. En
la Figura 7.5 se ilustran de manera gr´afica estas relaciones.
En este diagrama la contenci´on se interpreta como implicaci´on, por ejemplo,
la convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad, y ´esta
asu vez implica la convergencia en distribuci´on. Estos y otros resultados se
demuestran a continuaci´on.
Proposici´ on.Convergencia c.s. ⇒ convergencia en prob.
Demostraci´on. Sea ϵ > 0. Para cada natural n defina los eventos
∞
!
A n = (|X k − X| > ϵ).
k=n
