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298 7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia

Conv. Conv.
casi en m. c.
segura
Conv. en m.
Conv. en probabilidad

Conv. en distribuci´on

Figura 7.5: Relaci´on entre los tipos de convergencia.

Esta sucesi´on es decreciente y su l´ımite es entonces la intersecci´on de todos
los eventos. Como (|X n −X| > ϵ) ⊆ A n ,entonces P(|X n −X| > ϵ) ≤ P(A n ).
Por lo tanto,

l´ım P(|X n − X| > ϵ) ≤ l´ım P(A n )
n→∞ n→∞
= P(l´ım A n )
n→∞
∞
#
= P( A n )
n=1
= P(|X n − X| > ϵ, para cada n ≥ 1)
= P(l´ım X n ̸= X )
n→∞
=0.

El rec´ıproco de la proposici´on anterior es, en general, falso, es decir, la
convergencia en probabilidad no implica necesariamente la convergencia casi