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296 7.1. Tipos de convergencia

(x)
F X n
1

x

(x).
Figura 7.4: Sucesi´on y l´ımite de las funciones de distribuci´on F X n

d p
Proposici´ on.Sea c una constante. Si X n −→ c,entonces X n −→ c.

Demostraci´on. La funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria constante
c es
&
0si x< c,
F(x)=
1si x ≥ c,
que tiene un ´unico punto de discontinuidad en x = c.Suponga entonces que
(x) → F(x)para x ̸= c.Para cualquier ϵ > 0 se tiene que
F X n
P(|X n − c| ≥ ϵ)= P(X n ≤ c − ϵ)+ P(X n ≥ c + ϵ)
≤ P(X n ≤ c − ϵ)+ P(X n >c + ϵ/2)
(c + ϵ/2).
= F X n (c − ϵ)+ 1 − F X n
De modo que l´ım P(|X n − c| ≥ ϵ)= F(c − ϵ)+ 1 − F(c + ϵ/2) = 0.
n→∞

Amanera de resumen y sin mayores precisiones, se presenta en la siguiente
tabla las definiciones de los distintos tipos de convergenciamencionados. En
la siguiente secci´on se estudian las relaciones entre estostipos de convergen-
cia.