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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 301
Sin embargo, la sucesi´on no converge en media pues E|X n − 0| = E(X n )=
1 ̸−→ 0. !
Proposici´ on.Convergencia en prob. ⇒ convergencia en dist.
p
Demostraci´on. Suponga que X n −→ X,y sea x un punto de continuidad
de F X (x). Para cualquier ϵ > 0,
(x)= P(X n ≤ x)
F X n
= P(X n ≤ x, |X n − X| ≤ ϵ)+ P(X n ≤ x, |X n − X| > ϵ)
≤ P(X ≤ x + ϵ)+ P(|X n − X| > ϵ).
Por hip´otesis el segundo sumando del lado derecho tiende a cero cuando n
tiende a infinito. Entonces para cualquier ϵ > 0,
(x) ≤ F X (x + ϵ).
l´ım sup F X n
n→∞
Por la continuidad lateral,
(x) ≤ F X (x).
l´ım sup F X n
n→∞
Ahora se demuestra la desigualdad inversa. Para cualquier ϵ > 0
F X (x − ϵ)= P(X ≤ x − ϵ)
= P(X ≤ x − ϵ, |X n − X| ≤ ϵ)+ P(X ≤ x − ϵ, |X n − X| > ϵ)
≤ P(X n ≤ x)+ P(|X n − X| > ϵ).
Nuevamente el segundo sumando tiende a cero cuando n tiende a infinito.
Entonces
(x).
F X (x − ϵ) ≤ l´ım inf F X n
n→∞
Por la continuidad en x,
(x).
F X (x) ≤ l´ım inf F X n
n→∞
