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306 7.4. Ejercicios

7.4. Ejercicios

Convergencia casi segura

506. Para la convergencia casi segura se pide que el conjunto {ω ∈ Ω :
X n (ω) → X(ω)) tenga probabilidad uno. Demuestre la medibilidad
de tal conjunto probando que es id´entico al evento

∞ ∞ ∞
# ! #
( |X n − X| ≤ 1/k ).
k=1 m=1 n=m

507. Demuestre que en la convergencia casi segura, el l´ımitees ´unico casi
c.s. c.s.
seguramente, es decir, si X n −→ X,y X n −→ Y ,entonces X = Y
casi seguramente. Sugerencia: |X − Y | ≤ |X − X n | + |X n − Y |.
c.s. c.s.
508. Demuestre que si X n −→ X,entonces aX n + b −→ aX + b,en donde
a y b son constantes.
c.s. c.s.
509. Demuestre que si X n −→ X y Y n −→ Y ,entonces
c.s.
a) X n + Y n −→ X + Y.
c.s.
b) X n Y n −→ XY.

510. Considere el espacio de probabilidad ([0, 1], B[0, 1],P), con P la medi-
da de probabilidad uniforme. Demuestre que la sucesi´on X n = n1 [0,1/n)
converge casi seguramente a la variable aleatoria constantecero.

511. Condici´ on equivalente para la convergencia casi segura.
c.s.
Demuestre que X n −→ X si, y s´olo si, para cualquier ϵ > 0,

P( |X n − X| > ϵ para una infinidad de valores de n )= 0.

512. Use el ejercicio anterior para demostrar que si para cualquier ϵ > 0,
( c.s.
∞ P(|X n − X| > ϵ) < ∞,entonces X n −→ X.
n=1