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302 7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia

En resumen,

(x) ≤ F X (x).
F X (x) ≤ l´ım inf F X n (x) ≤ l´ım sup F X n
n→∞ n→∞

El rec´ıproco de la proposici´on anterior no siempre es v´alido, es decir, la
convergencia en distribuci´on no siempre implica la convergencia en proba-
bilidad.

Ejemplo. (En general, conv. en dist. ̸=⇒ conv. en prob.) Sea X
con distribuci´on normal est´andar, y sea

&
X si n es par,
X n =
−X si n es impar.
Entonces claramente cada una de las variable X n tambi´en tiene distribu-
(x) →
ci´on normal est´andar y por lo tanto para cualquier n´umero real x, F X n
d
F X (x), es decir, X n −→ X.Sin embargo la sucesi´on no converge en pro-
babilidad a X,pues para valores impares de n ypara valores peque˜nos de
ϵ > 0, P(|X n − X| > ϵ)= P(2|X| > ϵ) > 1/2. Lo anterior demuestra que
l´ım P(|X n − X| > ϵ) ̸=0. !
n→∞
Esto concluye la verificaci´on y ejemplos de todas las implicaciones y no
implicaciones que se derivan del diagrama de la Figura 7.5. Ellector intere-
sado en profundizar los temas aqui expuestos puede consultarel cap´ıtulo 5
del libro de Karr [18], o el excelente texto de Gut [13], asi como los textos
cl´asicos de teor´ıa de la medida [5] o [14], por ejemplo. Los resultados de
convergencia en espacios de probabilidad aqui mencionados pueden no ser
v´alidos en espacios de medida m´as generales.