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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 303

7.3. Dos resultados importantes de convergencia

Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias con esperanza finita.
Suponga que X n converge casi seguramente a X.Es natural preguntarse si
la sucesi´on de n´umeros E(X n )converge a E(X). Tal convergencia num´erica
equivaldr´ıa a poder intercambiar las operaciones de l´ımite y esperanza, es
decir,
l´ım E(X n )= E(l´ım X n ).
n→∞ n→∞
Por ejemplo, considere el espacio ((0, 1), B(0, 1),P), con P la medida de
probabilidad uniforme. Hemos considerado antes la sucesi´on de variables
aleatorias X n = n 1 (0,1/n) ,cuyo l´ımite es X =0 casi seguramente. Sin
embargo E(X n )es siempre 1 y no converge a E(X)= 0. Este es un ejemplo
sencillo en donde no es v´alido intercambiar la esperanza y ell´ımite. En esta
secci´on se estudian dos resultados que establecen condiciones bajo las cuales
es v´alido este intercambio.

Teorema de convergencia mon´ otona.Sea 0 ≤ X 1 ≤ X 2 ≤ ···
una sucesi´on de variables aleatorias convergente casi seguramente a una
variable X.Entonces

l´ım E(X n )= E(X).
n→∞

Demostraci´on. Como 0 ≤ X n ≤ X,entonces 0 ≤ E(X n ) ≤ E(X). Por lo
tanto
l´ım E(X n ) ≤ E(X).
n→∞
Ahora resta demostrar la desigualdad contraria. Primero se aproxima a X
de la siguiente forma. Sea ϵ > 0arbitrario, y paracada entero k ≥ 0defina
el evento A k =( kϵ ≤ X< (k +1)ϵ ). Esta es una colecci´on de eventos
disjuntos dos a dos, cuya uni´on es Ω.Defina ahora la variable aleatoria