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300 7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia

Demostraci´on. La desigualdad de Jensen establece que para u convexa,

u(E(X)) ≤ E(u(X)).

2
2
2
Tomando u(x)= x se obtiene E |X n − X| ≤ E|X n − X| ,de donde se
sigue el resultado. Alternativamente la ´ultima desigualdad es consecuencia
de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Ejemplo.(En general, conv. en media ̸=⇒ conv. en m.c.)Sea X n =
n 1 (0,1/n )
2 sobre el espacio ((0, 1), B(0, 1),P), con P la medida uniforme.
Entonces X n converge a cero en media pues E|X n −0| = E(X n )= 1/n → 0.
2
Sin embargo, no hay convergencia en media cuadr´atica pues E|X n − 0| =
2
E(X )= 1 ̸−→ 0. !
n
Proposici´ on.Convergencia en media ⇒ convergencia en prob.

Demostraci´on. Para cada ϵ > 0definael evento A n =(|X n − X| > ϵ).
Entonces
)+ E(|X n − X| 1 A )
E|X n − X| = E(|X n − X| 1 A n c
n
)
≥ E(|X n − X| 1 A n
≥ ϵ P(|X n − X| > ϵ).

Por hip´otesis, el lado izquierdo tiende a cero cuando n tiende a infinito. Por
lo tanto P(|X n − X| > ϵ) → 0.

El rec´ıproco del resultado anterior es, en general, falso.
Ejemplo. (En general, conv. en prob. ̸=⇒ conv. en media). Consi-
dere nuevamente el espacio ((0, 1), B(0, 1),P), con P la medida uniforme, y
defina las variables X n = n 1 (0,1/n) .Entonces X n converge en probabilidad
a cero pues para cualquier ϵ > 0, P(|X n − 0| > ϵ)= P(X n > ϵ)= 1/n → 0.