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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 307

Convergencia en probabilidad

513. Demuestre que en la convergencia en probabilidad, el l´ımite es ´unico
p p
casi seguramente, es decir, si X n −→ X,y X n −→ Y ,entonces X = Y
casi seguramente.
Sugerencia: P(|X −Y | > ϵ) ≤ P(|X −X n | > ϵ/2)+P(|X n −Y | > ϵ/2).

514. Considere el espacio de probabilidad ((0, 1], B(0, 1],P), en donde P
es la medida de probabilidad uniforme. Defina las variables aleatorias
discretas
n
" k
X n = 1 k−1 k .
n ( m , ]
n
k=1
Demuestre que X n converge en probabilidad a una variable aleatoria
con distribuci´on uniforme en el intervalo (0, 1].
p p
515. Demuestre que si X n −→ X,entonces aX n + b −→ aX + b,en donde
a y b son constantes.

p p
516. Suponga que X n −→ x y Y n −→ y,en donde x y y son dos n´umeros
reales fijos. Demuestre que
p
a) X n + Y n −→ x + y.
p
b) X n Y n −→ xy.
p
c)Si g es continua en x,entonces g(X n ) −→ g(x).
p p
517. Demuestre que si X n −→ X y Y n −→ Y ,entonces
p
a) X n + Y n −→ X + Y .
p
b) X n Y n −→ XY .
518. Sean X 1 ,X 2 ,... variables aleatorias independientes cada una con dis-
tribuci´on unif[a, b]. Demuestre que cuando n tiende a infinito
p
a)m´ın{X 1 ,... ,X n } −→ a.
p
b)m´ax{X 1 ,... ,X n } −→ b.