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292 7.1. Tipos de convergencia

.Las gr´aficas de estas primeras variables aleatorias se mues-
Sea X n =1 A n
p
tran en la Figura 7.3. Entonces X n −→ 0 pues para cualquier ϵ > 0,
l´ım P(|X n − 0| > ϵ)= l´ım P(A n )= 0.
n→∞ n→∞
Por otro lado observe que esta sucesi´on de variables aleatorias no converge
casi seguramente pues el conjunto {ω ∈ Ω :l´ım X n (ω)existe} es vac´ıo.
n→∞

X 1 X 2
1 1

1 1

X 3 X 4 X 5
1 1 1

1 1 1
.
Figura 7.3: Gr´aficas de las primeras variables aleatorias X n =1 A n
!
En algunos casos la aplicaci´on de la desigualdad de Chebyshev resulta ´util
para demostrar este tipo de convergencia como se muestra a continuaci´on.

Ejercicio. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias indepen-
2
dientes cada una de ellas con distribuci´on N(µ, σ )y defina el promedio
S n = n 1 ( n X i .Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar que
i=1
p
S n → µ.Observe que el mismo argumento funciona para cualquier suce-
si´on de variables aleatorias independientes id´enticamente distribuidas con
varianza finita. !