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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 293

Convergencia en media

En este tipo de convergencia se usa la esperanza para determinar la cercan´ıa
entre dos variables aleatorias.

Definici´ on. (Convergencia en media). La sucesi´on de variables
aleatorias integrables X 1 ,X 2 ,... converge en media a la variable aleato-
ria integrable X si
l´ım E|X n − X| =0.
n→∞

1
Aeste tipo de convergencia tambi´en se le llama convergencia en L yse le
m L 1
denota por X n −→ X,o X n −→ X.

Apartir de la definici´on de convergencia en media es inmediato preguntarse
si de all´ı se sigue la convergencia de la sucesi´on de medias.La respuesta es
afirmativa.
m
Ejercicio. Use la desigualdad de Jensen para demostrar que si X n → X,
entonces E(X n ) → E(X). !

Convergencia en media cuadr´atica

Nuevamente usando el concepto de esperanza pero ahora aplicado al segun-
do momento se tiene la convergencia en media cuadr´atica. M´as adelante
demostraremos que la convergencia en media cuadr´atica implica la conver-
gencia en media.