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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 291

c.s.
X n −→ 0. !
Ejercicio. Sea A un evento cualquiera. Demuestre que la siguiente sucesi´on
de variables aleatorias no converge para ning´un ω en Ω.
&
1 A si n es par,
X n =
1 A c si n es impar.

!

Convergencia en probabilidad

Un tipo de convergencia a´un menos restrictiva que la convergencia casi
segura es la convergencia en probabilidad la cual se define a continuaci´on.

Definici´ on. (Convergencia en probabilidad). La sucesi´on de va-
riables aleatorias X 1 ,X 2 ,... converge en probabilidad a X,sipara cada
ϵ > 0,
l´ım P{ω ∈ Ω : |X n (ω) − X(ω)| > ϵ} =0.
n→∞

p
Para denotar la convergencia en probabilidad se escribe X n −→ X,y omi-
tiendo el argumento ω la condici´on se escribe l´ım n→∞ P( |X n −X| > ϵ )= 0.
Nuevamente puede comprobarse que el l´ımite es ´unico casi seguramente.

Ejemplo.Considere el espacio de probabilidad ((0, 1), B(0, 1),P), con P
la medida uniforme. Defina la sucesi´on de eventos

A 1 =(0, 1/2),A 2 =(1/2, 1),
A 3 =(0, 1/3),A 4 =(1/3, 2/3),A 5 =(2/3, 1),
A 6 =(0, 1/4),A 7 =(1/4, 2/4),A 8 =(2/4, 3/4),A 9 =(3/4, 1),
··· ···