Page 328 - cip2007

316 8.2. Funci´ on generadora de momentos

λe −λ(1−t) ,y alevaluar en t =1, E(X)= G (1) = λ. Derivando por segunda
′
2
2 −λ(1−t)
vez, G (t)= λ e ,y en t =1 se obtiene E(X(X − 1)) = G (1) = λ .
′′
′′
2
2
2
2
Por lo tanto Var(X)= E(X ) − E (X)= λ + λ − λ = λ. !
Debido a la segunda propiedad, a la f.g.p. tambi´en se le conoce como funci´on
generadora de momentos factoriales.Ahora se muestra el uso de esta funci´on
para determinar la distribuci´on de una variable aleatoria,el procedimiento
es elegante y sencillo.
Ejemplo.Suponga que X y Y son independientes con distribuci´on Poisson(λ 1 )
yPoisson(λ 2 ), respectivamente. Entonces
e
G X+Y (t)= G X (t) G Y (t)= e −λ 1 (1−t) −λ 2 (1−t) = e −(λ 1 +λ 2)(1−t) .
Esta expresi´on corresponde a la f.g.p. de la distribuci´on Poisson con par´ame-
tro λ 1 +λ 2 .Debido a la unicidad, X +Y tiene distribuci´on Poisson(λ 1 +λ 2 ).
!
La definici´on de funci´on generadora de probabilidad puede extenderse al
caso de vectores aleatorios de la siguiente forma. La f.g.p. del vector (X, Y )
X Y
es la funci´on G X,Y (s, t)= E(s t ), para valores reales de s y t donde
esta esperanza sea absolutamente convergente. Puede demostrarse que las
variables X y Y son independientes si, y s´olo si, G X,Y (s, t)= G X (s) G Y (t).
La definici´on de f.g.p. para vectores de dimensi´on mayor es an´aloga.

8.2. Funci´on generadora de momentos

Esta es otra funci´on que se puede asociar a algunas distribuciones de pro-
babilidad. Su existencia no est´a garantizada en todos los casos, pero cuando
existe, determina de manera ´unica a la distribuci´on de probabilidad asocia-
da, y tiene propiedades semejantes a las de la funci´on generadora de proba-
bilidad. La funci´on generadora de momentos se utiliza tantopara variables
aleatorias discretas como continuas.