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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 321

Ejemplo.Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Hemos encontrado antes que
n
para t< λ, M(t)= λ (λ−t) −n .Calcularemos ahora la esperanza y varianza
n
de X con ayuda de la f.g.m. Derivando una vez, M (t)= λ n(λ−t) −n−1 .Al
′
evaluar en t =0 se obtiene E(X)= n/λ.Derivando nuevamente, M (t)=
′′
2
n
2
λ n(n+1)(λ−t) −n−2 .Por lo tanto E(X )= M (0) = n(n+1)/λ .Entonces
′′
2
2
2
2
Var(X)= n(n +1)/λ − n /λ = n/λ . !
Ejemplo.Suponga ahora que X y Y son independientes cada una con
distribuci´on gama(n, λ)y gama(m, λ), respectivamente. Entonces la f.g.m.
de X + Y es
m
n
M X+Y (t)= M X (t) M Y (t)= λ (λ − t) −n λ (λ − t) −m = λ n+m (λ − t) −n−m .
Esta es la expresi´on de la f.g.m. de la distribuci´on gama, ahora con par´ame-
tros n+m y λ.Se concluye entonces X+Y tiene distribuci´on gama(n+m, λ).
!
Nuevamente, es sencillo demostrar que la funci´on generadora de la suma
de dos variables aleatorias independientes es el producto delas funciones
generadoras individuales.

Proposici´ on.Sean X y Y son independientes, y cuyas f.g.m. existen
en una vecindad no trivial alrededor del cero. Entonces para cualquier
t ∈ (−s, s)para alg´un s> 0,

M X+Y (t)= M X (t) M Y (t).

Demostraci´on.

tY
tY
M X+Y (t)= E(e t(X+Y ) )= E(e tX e )= E(e tX ) E(e )= M X (t) M Y (t).