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322 8.2. Funci´ on generadora de momentos

Es interesante observar que la condici´on M X+Y (t)= M X (t) M Y (t)no es
suficiente para concluir que X y Y son independientes.

Ejercicio. Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad
2
2
f(x, y)= [1 + xy(x − y )]/4, para − 1 <x, y < 1.
Demuestre que X y Y no son independientes y sin embargo se cumple la
identidad M X+Y (t)= M X (t) M Y (t). !

Como hemos mencionado antes, no todas las distribuciones de probabilidad
permiten calcular la funci´on generadora de momentos dentrode un intervalo
no trivial alrededor del cero, ni todos los c´alculos son tan sencillos como en el
ejemplo mostrado. Por ejemplo, la f.g.m. de la distribuci´onCauchy est´andar
no existe para valores de t distintos de cero, esto se pide comprobar en el
ejercicio 576. Por otro lado, cuando se tienen dos variables X y Y con la mis-
ma distribuci´on, entonces sus funciones generadoras de momentos coinciden
pues ´estas de obtienen a trav´es de la funci´on de distribuci´on com´un. Por el
contrario, si M X (t)= M Y (t)en una vecindad no trivial alrededor del cero,
entonces puede demostrarse que sus distribuciones coinciden, este resultado
yotro relativo a convergencia es el contenido de la siguienteproposici´on,
cuya demostraci´on omitiremos.

Proposici´ on.

1. (Unicidad). Las variables X y Y tienen la misma distribuci´on si,
ys´olo si, M X (t)= M Y (t)para valores de t en una vecindad no
trivial alrededor del cero.
2. (Continuidad). Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleato-
rias cuyas funciones generadoras de momentos existen todas ellas
en alg´un intervalo no trivial alrededor del cero. Sea X con f.g.m.
d
M X (t). Entonces X n → X si, y s´olo si, M X n (t) → M X (t).

Para el caso de vectores aleatorios se tiene la siguiente definici´on. La fun-