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320 8.2. Funci´ on generadora de momentos

Entonces para cualquier t ∈ (−s, s), y m ≥ 1,

m n m '
t
" t " n ∞
n
E(X )= 1 + n (1 − F(x)) x n−1 dx
n! n!
n=0 n=1 0
m
" n ' 0
t
− n F(x) x n−1 dx
n!
n=1 −∞
' m−1 n
∞
" t
n
=1 + t (1 − F(x)) x dx
0 n=0 n!
0 n
' m−1
" t
n
−t F(x) x dx.
n!
−∞ n=0
Usando el teorema de convergencia mon´otona, o el de convergencia
dominada, dependiendo de los valores de t y x,cada una de estas
integrales es convergente, para cualquier t ∈ (−s, s), cuando se hace
m tender a infinito. De modo que
∞ n ' ' 0
" t n ∞ tx tx
E(X )= 1 + t (1 − F(x)) e dx − t F(x) e dx
n!
n=0 0 −∞
= M(t).
3. Dado que M(t)se puede expresar como una serie de potencias en t,
n
diferenciando y evaluando en cero se obtienen los coeficientes E(X ).

Nota importante. El hecho de que el n-´esimo momento de una variable
aleatoria exista, no implica que ´este puede ser hallado a trav´es de la n-
´esima derivada de la f.g.m. evaluada en cero. Es decir, es necesario conocer
la existencia de la f.g.m. para que pueda ser utilizada para obtener los
momentos. Por ejemplo, una variable aleatoria con distribuci´on t(n)tiene
esperanza cero pero su f.g.m. M(t)no existe para t distinto de cero.