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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 319

1. La prueba se basa en las identidades:

' ' 0
∞
n n−1 n−1
E |X| = n (1 − F(x)) x dx + n F(x) |x| dx,
0 −∞
' ' 0
∞
tx
tx
y M(t)= 1 + t (1 − F(x)) e dx − t F(x) e dx,
0 −∞
en donde, por hip´otesis, las dos integrales de M(t)son finitas para
cualquier t ∈ (−s, s). Demostraremos que cada integral de la expresi´on
n
de E|X| es menor o igual a la correspondiente integral de M(t). Para
el caso x> 0 se toma cualquier t ∈ (0,s), y entonces
(tx) n
tx
≤ e .
n!
n
tx
n
Es decir, x ≤ (n!/t )e .De modo que,salvo constantes, la primera
n
integral de E|X| es menor o igual a la primera integral de M(t),
siendo ´esta ´ultima finita, la primera tambi´en. Para el caso x< 0
conviene tomar t ∈ (−s, 0), pues en tal caso tx > 0y entonces
n
|tx| tx
≤ e |tx| = e .
n!
tx
n
n
n
Es decir, |x| ≤ (n!/|t| )e .Ahora la segunda integral de E|X| es
menor o igual a la segunda integral de M(t), siendo ´esta ´ultima finita,
la primera tambi´en. De esta forma todos los momentos de X existen
cuando M(t)es finita en alg´un intervalo no trivial alrededor del cero.
2. Se usa la f´ormula

' ' 0
∞
n
E(X )= n (1 − F(x)) x n−1 dx − n F(x) x n−1 dx.
0 −∞