Page 336 - cip2007

324 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica

la funci´on caracter´ıstica de X,y se escribe simplemente f.c.en lugar de fun-
ci´on caracter´ıstica.Observe que la f.c., la f.g.m. y la f.g.p. est´an relacionadas,
it
cuando existen las dos ´ultimas, por las igualdades φ(t)= M(it)= G(e ).
Se muestran a continuaci´on algunos ejemplos de la forma de encontrar la
funci´on caracter´ıstica a partir de una distribuci´on de probabilidad.

Ejemplo.Sea X con distribuci´on bin(n, p). Entonces

φ(t)= E(e itX )
n 4 5
" n
x
= e itx p (1 − p) n−x
x
x=0
n 4 5
" n
it x
= (pe ) (1 − p) n−x
x
x=0
it n
=(1 − p + pe ) .
!
Ejemplo.Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Entonces

φ(t)= E(e itX )
∞ x
" itx −λ λ
= e e
x!
x=0
∞ it x
" (λe )
= e −λ
x!
x=0
it
= e −λ(1−e ) .
!
Otros ejemplos de funciones caracter´ısticas de distribuciones discretas se
muestra en la siguiente tabla. El lector puede comprobar cadaunade estas
expresiones.