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326 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica
continuaci´on anal´ıtica de la teor´ıa de variable compleja. !
Ejemplo.Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Entonces
φ(t)= E(e itX )
' n−1
∞ (λx)
= e itx λe −λx dx
0 Γ(n)
'
∞ λ
= (λx) n−1 −(λ−it)x dx
e
0 Γ(n)
λ n ' ∞ [(λ − it)x] n−1
= (λ − it) e −(λ−it)x dx
(λ − it) n 0 Γ(n)
λ
n
=( ) .
λ − it
El ´ultimo integrando es la funci´on de densidad de la distribuci´on gama(n, λ−
it). Nuevamente usando la teor´ıa de variable compleja puede demostrarse
rigurosamente que esta integral tambi´en vale uno. !
La siguiente tabla muestra algunos otros ejemplos de funciones caracter´ısti-
cas para variables aleatorias continuas.
Distribuci´ on Funci´ on caracter´ ıstica
unif(a, b) φ(t)= (e ibt − e iat )/(ibt − iat)
exp(λ) φ(t)= λ/(λ − it)
gama(n, λ) φ(t)= [λ/(λ − it)] n
2 2
2
N(µ, σ ) φ(t)= exp(iµt − σ t /2)
2
χ (n) φ(t)= (1 − 2it) −n/2
t(n) φ(t)= e −|t| ,cuando n =1.
