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330 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica

φ X (t) φ Y (t)no es suficiente para concluir que las variables aleatorias X y
Y son independientes.

Ejercicio. Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad

2
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f(x, y)= [1 + xy(x − y )]/4, para − 1 <x, y < 1.
Demuestre que X y Y no son independientes y sin embargo se cumple la
identidad φ X+Y (t)= φ X (t) φ Y (t). !

Otra de las propiedades fundamentales de la funci´on caracter´ıstica es su ca-
pacidad de determinar de manera ´unica a las distribuciones de probabilidad.
Aeste respecto se tienen los siguientes resultados.

Proposici´ on. (F´ ormula de inversi´ on de L` evy). Sea X con funci´on
de distribuci´on F(x), y funci´on caracter´ıstica φ(t). Si x< y son puntos
de continuidad de F,entonces

' T −itx −ity
1 e − e
F(y) − F(x)= l´ım φ(t) dt.
T→∞ 2π −T it
Cuando x y y no necesariamente son puntos de continuidad de F,el lado
1
izquierdo es 1 (F(y)+ F(y−)) − (F(x)+ F(x−)).
2 2

Demostraci´on. Para T> 0sea

1 ' T e −itx − e −ity
I(T)= φ(t) dt
2π −T it
' T −itx −ity '
1 e − e ∞
= [ e itz dF(z)] dt
2π −T it −∞
' T ' it(z−x) it(z−y)
1 ∞ e − e
= dF(z) dt
2π −T −∞ it
' ' T it(z−x) it(z−y)
1 ∞ e − e
= dt dF(z).
2π it
−∞ −T