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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 335

que

1 ' T e −itx − e −ity
F X (y) − F X (x)= l´ım φ(t) dt.
T→∞ 2π −T it
1 ' T e −itx − e −ity
= l´ım [l´ım φ X n (t)] dt.
T→∞ 2π −T it n→∞
1 ' T e −itx − e −ity
= l´ım l´ım [ φ X n (t)] dt.
n→∞ T→∞ 2π −T it
= l´ım F X n (y) − F X n (x).
n→∞
(y).
Haciendo x tender a −∞ se obtiene F X (y)= l´ım F X n
n→∞

En el siguiente cap´ıtulo usaremos este resultado para demostrar el teorema
central del l´ımite. Finalmente mencionamos la definici´on de funci´on carac-
ter´ıstica para vectores aleatorios. La f.c. del vector (X, Y )es la funci´on
φ X,Y (s, t)= E(e isX e itY ), para valores reales de s y t donde esta esperan-
za sea absolutamente convergente. Nuevamente puede demostrarse que las
variables X y Y son independientes si, y s´olo si, φ X,Y (s, t)= φ X (s) φ Y (t).
De manera an´aloga puede definirse la funci´on caracter´ıstica para vectores
de dimensi´on mayor.