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332 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica

Entonces, puntualmente,

1
l´ım X T = ( π signo(X − x) − π signo(X − y))
T→∞ 2π
1
= 1 (X)+ 1 (x,y) (X)
2 {x,y}
⎧
⎪ 0 si X< x,
⎪
⎨ 1/2 si X = x,
⎪
⎪
= 1 si x< X < y,
⎪ 1/2 si X = y,
⎪
⎪
⎪
0 si X> y.
⎩
Adem´as, las variables X T est´an acotadas en valor absoluto por una constante
pues para cualquier n´umero real a,
T T
' '
sen at sen t
| dt| ≤ sup | dt| < ∞.
0 t T>0 0 t
Por lo tanto
'
∞ 1
l´ım I(T)= [ 1 (z)+ 1 (x,y) (z)] dF(z)
T→∞ 2 {x,y}
−∞
1 1
= P(X = x)+ P(X = y)+ P(x< X < y)
2 2
1 1
= P(x< X ≤ y)+ P(X = x) − P(X = y)
2 2
1 1
= F(y) − F(x)+ P(X = x) − P(X = y)
2 2
1 1
= (F(y)+ F(y−)) − (F(x)+ F(x−)).
2 2
En particular, si x y y son puntos de continuidad de F,entonces ell´ımite
de la integral es igual a F(y) − F(x).

Como corolario del teorema de inversi´on demostraremos que la funci´on ca-
racter´ıstica determina de manera ´unica a la distribuci´onde probabilidad.