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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 329

Tomando el l´ımite cuando t → 0y usandonuevamente el teorema de
convergencia dominada, se demuestra finalmente que
d n B B n n
dt n φ(t) B B = i E(X ).
t=0
2. La f´ormula se sigue del inciso anterior y del siguiente resultado de
an´alisis. Si g es una funci´on con valores reales o complejos y definida
en alg´un intervalo no trivial alrededor del origen con g (n) (0) finita,
entonces cuando t → 0,
t 2 t n−1 t n
g(t)= g(0)+tg (0)+ g (0)+···+ g (n−1) (0)+ ( g (n) (0)+o(1) ).
′
′′
2! (n − 1)! n!

En la ´ultima parte del curso se usar´a la expansi´on (8.1) para demostrar la
ley de los grandes n´umeros y el teorema del l´ımite central. Para el primer
resultado se supondr´a el primer momento finito y la expansi´on adquiere la
expresi´on φ(t)= 1 + it( E(X)+ o(1) ), cuando t → 0. Para el teorema del
l´ımite central se supondr´a el segundo momento finito y la expresi´on que se
2
2
usa es φ(t)= 1 + it E(X)+ ((it) /2!)( E(X )+ o(1) ), cuando t → 0.
Proposici´ on.Si X y Y son independientes, entonces φ X+Y (t)=
φ X (t) φ Y (t).

Demostraci´on. Por independencia,
φ X+Y (t)= E(e it(X+Y ) )= E(e itX e itY )= E(e itX ) E(e itY )= φ X (t) φ Y (t).

Nota importante. El resultado anterior establece en particular que el
producto de dos funciones caracter´ısticas es nuevamente una funci´on carac-
ter´ıstica. Por otro lado, es necesario se˜nalar que la condici´on φ X+Y (t)=